1. Wstęp
W trakcie geodezyjnej obsługi inwestycji można trafić na kilka prac które wymagają użycia narzędzi obliczeniowych wykorzystujących metodę najmniejszych kwadratów. W tracie obsługi obiektów przemysłowych możemy natrafić na elementy które posiadają w geometrię okręgu.
Wykonując analizę wpasowania okręgu metodą najmniejszych kwadratów możemy uzyskać informacje o:
- Geometrii okręgu
- Promieniu najlepiej wpasowanego okręgu
- Środka najlepiej wpasowanego okręgu
- Rozkładzie deformacji mierzonego obiektu
Dysponując takimi informacjami możemy wykonać szeregi analizy z mierzonymi obiektami w ich własnych układach odniesienia oraz bezwzględnym układzie odniesienia.
Możemy ocenić:
- jak dane elementy będą do siebie pasowały
- jak zmienia się geometria obiektu po zmianie lokalizacji i orientacji
- jakie są maksymalne i minimalne zniekształcenia
2. Obliczenia
Jak wykonać obliczenia:
Podstawą do wykonania przekształceń jest równanie okręgu:
gdzie:
a i b – współrzędne środka okręgu
r – promień okręgu
Po przekształceniu uzyskujemy:
Po kolejnych przekształcenia i macierzowym zapisie sumowego układu równań otrzymujemy:
Na podstawie obliczonych niewiadomych parametrów układu równań obliczamy współrzędne środka okręgu oraz jego promień:
3. Praktyczna realizacja obliczeń.
Jedynym słusznym środowiskiem praktycznego wykonania tego typu obliczeń jest środowisko komputerowe. Najbardziej odpowiednim środowiskiem do wykonania takich obliczeń macierzowych wydaje się wolne oprogramowanie (free software) Octave. Jednak takie obliczenia można również wykonać w środowisku CAD. O zaletach poszczególnych rozwiązań zostanie napisany inny artykuł. Poniżej można pobrać wtyczkę CAD która wykonuje pasowanie okręgu metodą najmniejszych kwadratów dla 7 punktów.
Plik do pobrania
Poza wyborem środowiska programowania ważny jest również układ współrzędnych w którym znajduje się zbiór punktów. Przedstawiona metoda dział poprawnie tylko dla zbioru punktów znajdujących się w płaszczyźnie XY. W związku z tym należy przed wykonaniem obliczeń wykonać transformację na płaszczyznę XY.
4. Obiekty z geodezyjnej realizacji w której została zastosowana metoda wpasowania okręgu.
Zdjęcie 1. Rura kanału spalin
Jest to klasyczna sytuacja w której analizujemy połączenie dwóch elementów o kolistej geometrii.
Zdjęcie 2. Kołnierz absorbera.
Kolejny przykład w którym porównujemy lokalizację otworów na połączenie śrubowe kołnierza oraz krawędź kołnierza. Prezentowany przykład można rozbudować o analizę odkształceń kołnierza od płaszczyzny (wpasowanie zbioru punktów w płaszczyznę).
Zdjęcie 3. Kotwy fundamentu zbiornika.
Jeżeli zainteresował cię powyższy artykuł oraz chciałbyś skorzystać z pełnej wersji makra zachęcam do kontaktu
